Neural Style Transfer
Neural Style Transfer
所谓Netural Style Transfer是指将一幅图片的style信息提取出来并应用到另一幅图片的content上，从而合成一副同时具备两幅图片特征的新图片。如下图所示
接下来的问题便是
- 如何提取content image中的content
- 如何提取style image中的style
- 如何提取出的content和style重新组合起来
Content Representation
参考文献[1]的论文中提到，使用卷积神经网络来帮我们提取content。这里我们要先重新回顾一下前面的内容，以图像分类为例，一个卷积神经网络可以分为两部分，前一部分是由conv2d和pooling组成的卷积层，其作用是提取图片中的特征。后一部分是由FC层和Softmax组成的分类层，其作用是将图片的特征flatten成一维向量并映射到某个具体的类别上。
而对于提取特征来说，我们并不需要后面的FC层，只需要保留前面的卷积层即可。论文中使用VGG19，如下图所示
虽然我们保留了卷积层，但我们还要知道图片通过每个卷积层之后的输出，也就是说各卷积核到底在提取图片的哪些特征，阅读参考文献[2,3]可知，随着卷积网络的加深，卷积层提取的特征粒度将越来越大，比如前几层的卷积层可识别图片的边缘，颜色等，随着网络的加深，后面几层则可以识别人脸，身体等大型特征，如下图所示
在论文中，作者观察了VGG19的
conv1_2,conv2_2,conv3_2,conv4_2和conv5_2这几层的输出，发现使用conv4_2可以很好的重建原图的特征。
接下来我们要做的便是根据某输出层(例如conv4_2)的图片来重建一张新的图片，新的图片需要具备原图的重要特征。我们首先创建一张目标图片（可以直接用原图）并让其通过某层（例如conv4_2），结果用$G$表示。接着将原图也通过该层，输出用$C$表示，最后来我们计算$G$和$C$的element-wise的差值，使用下面的式子
上述式子的对$G$的偏导为
\[\begin{equation} \frac{\partial L_{content}(C,G)}{\partial G_{i,j}^{[l]}} = \left\{ \begin{array}{rcl} {(G^{[l]} - C^{[l]})}_{i,j} & & {G_{i,j}^{[l]} > 0} \\ 0 & & {G_{i,j}^{[l]} < 0} \end{array} \right. \end{equation}\]有了上面的loss函数，我们便可以用梯度下降法使$L_{content}最小，$并最终确定$G$的值
Style Representation
这一节我们来讨论如何表示图片中的Style信息。论文中指出图片的style信息可以用feature之间的相关性表示，例如我们有一个张image，通过一个卷积层$l$后得到了一个[4,4,8]feature矩阵，则style信息就可以用这8个[4,4]矩阵的相关性来表示。
具体来说，假如我们的feature矩阵如左图所示，其中前两层为例（绿色和黄色）分别对应右图的两个红色框的feature矩阵，则所谓的相关性可表示为当第一层出现“竖条”这样的图案时，第二层的颜色是“橘黄色”。
相关性在数学上可以用Gram矩阵表示，我们用$i$,$j$,$k$分别表示$n_i$,$n_j$和$n_c$，用$l$表示第某$l$层，用$a_{i,j,k}^{[l]}$表示feature矩阵，$G,S$分别表示目标图片和Style图片，则$G^{[l]}$的定义如下
\[G_{k,k^{'}}^{[l](S)} = \sum_{i=1}^{n_H^{[l]}}\sum_{j=1}^{n_W^{[l]}}a_{i,j,k}^{[l](S)}a_{i,j,k^{'}}^{[l](S)} \\ G_{k,k^{'}}^{[l](G)} = \sum_{i=1}^{n_H^{[l]}}\sum_{j=1}^{n_W^{[l]}}a_{i,j,k}^{[l](G)}a_{i,j,k^{'}}^{[l](G)}\]实际编程中$G^{[l]}$可以用$AA^{T}$来计算，其size为$(n_c^[l],n_c^[l])$。是以上面两个[4,4,8]feature矩阵为例，首先将它们转化为两个[16,8]的二维矩阵，然后计算$AA^T$，则得到的G矩阵为[8,8]，如下图所示
有了gram矩阵的定义，我们就可以算$S$和$G$在$l$层的loss函数
\[J_{style}^{[l]} (S,G) = \left\|G_{k,k^{'}}^{[l](S)} - G_{k,k^{'}}^{[l](G)} \right\|^2 = \frac{1}{(2n_H^{[l]}n_W^{[l]}n_C^{[l]})^2}\sum_{k}^{n_C}\sum_{k^{'}}^{n_C}(G_{k,k^{'}}^{[l](S)}-G_{k,k^{'}}^{[l](G)})^2 \\\]将所有layer叠加，总的loss函数为
\[J_{style}(S,G) = \sum_{l=0}^{L}\omega^{[l]}J_{style}^{[l]} (S,G)\]其中$\omega$的取值在[0,1]之间，由于上述式子对$G$可微，我们同样可以用梯度下降找到loss函数的最小值，从而确定$G$
Cost函数
有了前面两个loss函数，接下来我们只需要将它们Combine起来即可，其中$\alpha$和$\beta$用来控制style和content的权重
\[L_{total} = \alpha J_{content}(S,G) + \beta J_{style}(S,G) \\ G := G - \alpha \frac{\partial L_{total}} {\partial G}\]我们接下来要做的就是通过梯度下降不断迭代，更新$G$中的像素点，整个过程如下图所示
Result
论文给出了一些数据，模型使用VGG19，content来自conv4_2的输出；style则来自conv1_1,conv2_1,conv3_1,conv4_1,conv5_1几层的输出，${\alpha}/{\beta} = 1 \times 10^{-4}$，不同的$\alpha$和$\beta$的比值对结果影响如下
